平行二重。 《平行与垂直》教学设计

计算二重积分∫∫xdxdy其中D是由直线x=0、y=0及x+y=1所围成的闭区域。 计算二重积分∫∫xydx

平行二重

一、教学目标 (一)知识与技能 理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系,初步认识平行线与垂线。 (二)过程与方法 在观察、操作、比较、概括中,经历探究平行线和垂线特征的过程,建立平行与垂直的概念。 (三)情感态度和价值观 在活动中丰富学生活动经验,培养学生的空间观念及空间想象能力。 教学难点: 理解 平行与垂直 概念的本质特征。 三、教学准备 课件、学具等。 四、教学过程 (一)情境导入,画图感知 1 .学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。 教师:摸一摸平放在桌面上的白纸,你有什么感觉? ( 1 )学生交流汇报。 ( 2 )像这样很平的面,我们就称它为平面。 (板书:平面) 我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分,请大家在这个平面上任意画一条直线,说一说,你画的这条直线有什么特点? ( 3 )闭上眼睛想一想:白纸所在的平面慢慢变大,变得无限大,在这个无限大的平面上,直线也跟着不断延长。 这时平面上又出现了另一条直线,这两条直线的位置关系是怎样的呢?会有哪几种不同的情况? 2 .学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系。 把你想象的情况画在白纸上。 注意一张纸上只画一种情况,想到几种就画几种,相同类型的不画。 【设计意图】通过简单的谈话直奔研究主题,让学生快速进入学习情境。 让学生想象在同一平面先出现一条直线,再出现一条直线,有利于学生想象出很多的位置关系,培养学生的空间想象能力。 (二)观察分类,感受特征 1 .展示作品。 教师:同学们想象力真丰富!相互看一看,你们的想法一样吗?老师选择了几幅有代表性的作品,我们一起来欣赏一下。 如果你画的和这几种情况不一样,可以补充到黑板上。 不管哪种情况,我们所画的两条直线都在同一张白纸上。 因为我们把白纸的面看作了一个平面,所以可以这样说,我们所画的两条直线都在同一平面。 (板书:同一平面) 【设计意图】本环节的教学结合画一画把学生想象的结果外化出来,也为后续教学进行分类探究提供了原始素材,同时再一次有意识地渗透研究两条直线位置关系的重要前提:在同一平面内。 2 .分类讨论。 教师:同学们的想象力可真丰富,画出来这么多种情况。 能把它们分分类吗?为了方便描述,咱们给作品标上序号,可以怎么分?按什么标准分? ( 1 )先独立思考:我打算怎么分?分几类? ( 2 )再小组交流:怎么分?为什么这么分? 3 .汇报交流。 教师:哪组来说一说你们的研究结果? 学情预设: ( 1 )分两类:交叉的为一类,不交叉的为一类。 ( 2 )分三类:交叉的为一类,不交叉的为一类,快要交叉的为一类。 ( 3 )分四类:交叉的为一类,不交叉的为一类,快要交叉的为一类,交叉成直角的为一类。 教师:你们所说的交叉在数学上叫相交。 (板书:相交) 质疑: 2 、 3 两幅图中的两条直线相交吗? 学生说明自己的想法和理由。 课件演示:两条直线延长后相交于一点。 图 6 属于哪一种情况?(相交) 小结:同一平面内,两条直线的位置关系有相交和不相交两种,但在判断时我们不能光看表面,而要看他们的本质,也就是这两条直线延长后是否相交。 【设计意图】来源于学生的学习素材有利于调动学生的学习积极性,这个分类探究的过程对于一部分学生来讲是很有挑战性的。 通过先独立思考、再分组交流的过程,让学生充分发表自己的意见和想法,在倾听和交流中不断优化自己的分类方法。 通过学生动手操作、亲身体验、合作交流,初步理解同一平面内两条直线的位置关系。 (三)自主探究,揭示概念 1 .揭示平行的概念。 ( 1 )感知平行的特点。 教师:这两条直线就真的不相交吗?怎样验证? 结合学生回答用课件演示两条直线无论怎样延长都不会相交的动态过程。 ( 2 )揭示平行的定义。 ( 3 )介绍平行符号。 ( 4 )体验生活中的平行现象。 教师:生活中我们常常遇到平行的现象,你能举几个例子吗? 学生举例后,教师可用多媒体课件适时补充一些生活中的实例。 通过媒体的动态演示和直观的实物模型有意识地培养学生的空间观念。 2 .揭示垂直的概念。 ( 1 )感知垂直的特点。 教师:刚才同学们在画两条直线的位置关系时,还画了相交的情况。 我们一起来看一看这些相交的情况。 ( 2 )认识垂直的定义。 教师: 如果两条直线相交成直角,我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。 课件呈现三组垂线。 教师:观察这里的三幅图,它们有什么相同点和不同点?根据刚才的比较,能尝试总结你的发现吗? 预设:垂直要看两条直线相交是否成直角,而与怎样摆放无关。 ( 3 ) 介绍垂直符号。 ( 4 ) 感受生活中的垂直现象。 教师: 生活中我们还会常常遇到垂直的现象,你能举出生活中一些有关垂直的例子吗? 学生举例后,教师用多媒体课件补充一些实例。 教师:同学们,以上内容就是今天我们学习的有关平行和垂直的知识。 (板书课题:平行与垂直) 【设计意图】使学生经历新知的动态生成过程,引导学生在观察、对比中发现问题,通过学生用工具验证相交后成直角的现象,清晰揭示出互相垂直的概念,同时培养学生科学严谨的学习态度和研究问题的方法。 (四)练习巩固,拓展延伸 1 . P57 做一做。 2 .练习十第 1 题。 结合新知完善对长、正方形特征的认识。 3 .练习十第 2 题。 本题以游戏形式完成,相互交流、总结规律。 通过摆小棒的数学游戏引导学生在直观操作中巩固和运用概念,在摆的过程中发现规律,拓展对平行和垂直的认识。 (五)全课小结 通过今天这节课的学习,你有什么收获?还有什么疑问?.

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《平行与垂直》教学设计

平行二重

1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1、曲顶柱体的体积 设有一空间立体 ,它的底是 面上的有界区域 ,它的侧面是以 的边界曲线为准线,而母线平行于 轴的柱面,它的顶是曲面。 当 时, 在 上连续且 ,以后称这种立体为 曲顶柱体。 曲顶柱体的体积 可以这样来计算: 1 、用任意一组曲线网将区域 分成 个小区域 ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体 分划成 个小曲顶柱体。 (假设 所对应的小曲顶柱体为 ,这里 既代表第 个小区域,又表示它的面积值, 既代表第 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。 从而 将 化整为零 2 、由于 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。 因此,可以将 小曲顶柱体近似地看作 小平顶柱体,于是 以不变之高代替变高, 求 的近似值 3 、整个曲顶柱体的体积近似值为 积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值 4 、为得到 的精值,只需让这 个小区域 越来越小,即让每个小区域向某点收缩。 为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设 个小区域直径中的最大者为 , 则 取极限让近似值向精确值转化 2、平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 面上的区域 , 它在 处的面密度为 ,这里 ,而且 在 上连续,现计算该平面薄片的质量。 将 分成 个小区域 用 记 的直径, 既代表第 个小区域又代表它的面积。 当 很小时, 由于 连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小 块区域的近似质量可取为 于是 两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。 3、二重积分的定义 设 是闭区域 上的有界函数, 将区域 分成个小区域 , 其中: 既表示第 个小区域, 也表示它的面积, 表示它的直径。 作乘积 作和式 若极限 存在,则称此极限值为函数 在区域 上的二重积分,记作。 即 其中: 称之为被积函数, 称之为被积表达式, 称之为面积元素, 称之为积分变量, 称之为积分区域, 称之为积分和式。 4、几个事实 1 、二重积分的存在定理 若 在闭区域 上连续, 则 在 上的二重积分存在。 声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 2 、 中的面积元素 象征着积分和式中的。 由于二重积分的定义中对区域 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域 ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将 记作 并称 为直角坐标系下的 面积元素 ,二重积分也可表示成为。 3 、若 ,二重积分表示以 为曲顶,以 为底的曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质 二重积分与定积分有相类似的性质 1、【线性性】 其中: 是常数。 2、【对区域的可加性】 若区域 分为两个部分区域 ,则 3、若在 上, , 为区域 的面积,则 几何意义: 高为 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。 4、若在 上, ,则有不等式 特别地,由于 ,有 5、【 估值不等式】 设 与 分别是 在闭区域 上最大值和最小值, 是 的面积,则 6、【 二重积分的中值定理】 设函数 在闭区域 上连续, 是 的面积,则在 上至少存在一点 ,使得 【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分,并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。 解: 在上连续,故二重积分存在。 用平行于 轴或 轴的直线 将 剖分成 个小矩形区域 , 每个小区域的面积为 , 在小区域 上选取点 为格点 , 作积分和式 小区域的 直径均为 该曲顶柱体的图形为 据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为 【例2】估计二重积分 的值, 是圆域。 2 二重积分的计算法 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算 即 二次积分 来实现的。 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题。 讨论中,我们假定 ; 假定积分区域 可用不等式 表示, 其中 , 在 上连续。 据二重积分的几何意义可知, 的值等于以 为底,以曲面 为顶的 曲顶柱体的体积。 在区间 上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底,曲线 为曲边的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间 上任一点 且平行于 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用 计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 1 上述积分叫做 先对Y,后对X的二次积分,即先把 看作常数, 只看作 的函数,对 计算从 到 的定积分,然后把所得的结果 它是 的函数 再对 从 到 计算定积分。 这个先对 , 后对 的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了 ,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式 1。 但实际上,公式 1 并不受此条件限制,对一般的 在 上连续 ,公式 1 总是成立的。 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域 可以用下述不等式 表示,且函数 , 在 上连续, 在 上连续,则 2 显然, 2 式是先对 ,后对 的二次积分。 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于 I型 或 II型 区域, 用平行于 轴 轴 的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I型 或 II型 区域的并集。 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。 这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。 画出积分区域 的图形 假设的图形如下 在 上任取一点 ,过 作平行于 轴的直线,该直线穿过区域 ,与区域 的边界有两个交点 与 ,这里的 、 就是将 ,看作常数而对 积分时的下限和上限;又因 是在区间 上任意取的,所以再将 看作变量而对 积分时,积分的下限为 、上限为。 【例1】计算 ,其中 是由 轴, 轴和抛物线 在第一象限内所围成的区域。 类似地, 【例2】计算 , 其中 是由抛物线 及直线 所围成的区域。 【例3】求由曲面 及 所围成的立体的体积。 解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域 消去变量 得一垂直于 面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在 面的投影区域就是该柱面在 面上所围成的区域 2、列出体积计算的表达式 3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算 而 由 , 的对称性有 所求立体的体积为 二、利用极坐标计算二重积分 1、变换公式 按照二重积分的定义有 现研究这一和式极限在极坐标中的形式。 用以极点 为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将 剖分成个小闭区域。 除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 的面积可如下计算 其中, 表示相邻两圆弧半径的平均值。 数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计 在小区域 上取点 ,设该点直角坐标为 ,据直角坐标与极坐标的关系有 于是 即 由于 也常记作 , 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式 1 1 式称之为 二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中, 就是极坐标中的 面积元素。 1 式的记忆方法: 2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 【 情形一】积分区域 可表示成下述形式 其中函数 , 在 上连续。 则 【 情形二】积分区域 为下述形式 显然,这只是情形一的特殊形式 即极点在积分区域的边界上。 故 【情形三】积分区域 为下述形式 显然,这类区域又是情形二的一种变形 极点包围在积分区域 的内部 , 可剖分成 与 ,而 故 则 由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域 用极坐标变量 表示成如下形式 下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。 注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。 利用此题结果可求出 著名概率积分。 而被积函数满足 ,从而以下不等式 成立,再利用例二的结果有 , , 于是不等式可改写成下述形式 故当 时有 , 即。 3、使用极坐标变换计算二重积分的原则 1 、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示 含圆弧,直线段 ; 2 、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单 含 , 为实数。 3 二重积分的应用 定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件: 1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性 即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且。 2、在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 , 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作。 注: 的选择标准为: 是 直径趋于零时较 更高阶的无穷小量 3、所求量 可表示成积分形式 一、曲面的面积 设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数 在 上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积。 在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 它的面积也记作 ,在 内取一点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面 在点 处的切平面设为。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由于 的直径很小, 那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。 曲面 在点 处的法线向量 指向朝上的那个 为 它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为 而 所以 这就是曲面 的 面积元素, 故 故 【例1】求球面 含在柱面 内部的面积。 解:所求曲面在 面的投影区域 曲面方程应取为 , 则 , 曲面在 面上的投影区域 为 据曲面的对称性,有 若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投影区域分别为 或 ,类似地有 或 二、平面薄片的重心 1、平面上的质点系的重心 其质点系的重心坐标为 , 2、平面薄片的重心 设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,如何确定该薄片的重心坐标。 这就是 力矩元素,于是 又平面薄片的总质量 从而,薄片的重心坐标为 特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则 十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的 形心。 【例2】设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 , 之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心 形心。 解: 由 的对称性可知: 而 故 三、平面薄片的转动惯量 1、平面质点系对坐标轴的转动惯量 设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为。 设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为 2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量 设有一薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 假定 在 上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 ,。 与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为 【例3】求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片 面密度为常数 对于直线 的转动惯量。 解: 转动惯量元素为 四、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。 sdut. edu.

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平行二重

0,15. 0,15. 0,15. 0,10. 0,15. 0,10. 0,15. q是一个指向( 指向int数据类型指针) 变量p1的指针,注意括号里面的描述,p1本身又是一个指向int数据类型的指针。 相同类型的指针比如p1和p2是可以用等号进行赋值的,赋值的结果就是两个指针指向同一个地址。 众所周知二重积分可以用分割成小块块的方法计算,这里就是直接用这个 include include define pi 3. 算法原理简介 步1 将积分区间2n等分; 步2 调用复化梯形公式: 2. 运行结果.

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