正 射影 ベクトル。 ベクトルの正射影

正射影ベクトルの公式の証明と使い方

正 射影 ベクトル

正射影ベクトルとは 正射影ベクトルは、その名の通り「あるベクトルに光を真上から射(さ)した時の影となるベクトル」のことです。 <正射影ベクトルのイメージ図> 青色のベクトルが、「aベクトルに対するbベクトルの正射影ベクトル」と言われます。 この項ではその公式の導出法を学びます。 <正射影ベクトルの公式導出> まず、ベクトルAとBの始点を揃えます。 そしてベクトルBの先の影の部分(垂直に下ろしたところ)を点Hとします。 わざわざ意味もなく求めているわけではなく、様々なベクトルの問題がスマートに解けるようになります。 さらに、【ベクトルの分野と一見何の関係も無さそうな分野でも】正射影ベクトルは威力を発揮します。 ここでは、そのうちの正射影ベクトルが役立つ代表的な問題を紹介し、解答では図形と方程式など他分野の考えを使って確認していきます。 正射影ベクトルを利用する問題例 問題:『<問題図1>のように、xy座標平面上にy=-xで表される直線と点A(1,3)がある。 Aから直線に垂線を下ろしたとき、その足の点の座標を求めよ。 』 <問題図1> 解答の手順 この手の問題では、点Hの座標を求める=ベクトルOHとベクトルOAを考えます。 つまり、正射影ベクトルの出番です! 正射影ベクトルの式を思い出しながら、解答を作っていきます。 座標上の距離で確認してみる 本当に点Hの座標が -1,1 なのか、三平方の定理で確かめてみましょう。 まとめとベクトルの関連記事紹介 ・正射影ベクトルの公式は『覚えず』に、面倒でも一回一回導きましょう。 (その過程で、自然に覚えてしまいます) ・今回は応用問題1題を紹介しましたが、正射影が使える問題や分野はかなり多いので問題集や過去問を解く際に『ベクトル』を使えないかを常に頭に置いておきましょう。 <<「」>> ・空間図形でも(正射影を含む)ベクトルは大活躍します。 空間ベクトルの応用シリーズ 第一回:「」 第二回:「」 第三回:「」 第四回:「」.

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今回は主成分分析 PCA: Principal Component Analysis について解説します。 今回は主成分分析について解説します。 主成分分析は100年くらい前からある古典的な手法ですが、たとえば最近流行りのニューラルネットワークの中でも白色化という形で使われたりしています。 主成分分析についてはいろいろ説明することがあるので、今回はなるべくミニマルな説明に限定し、残りの話は番外編として書きます。 それでは始めましょう。 注意 主成分分析は既に詳しい解説も多いです。 は一度目を通す価値があるでしょう。 他にもよい記事[]がたくさんあるので、自分で理解しやすい記事を参考にするとよいと思います。 主成分分析 主成分分析とは、変換後の各確率変数の分散が最大になるような直交変換を求めることです。 主成分分析を行う場合には次の仮定が満たされているか確認する必要があります。 観測したい情報の持つ分散のほうがノイズに起因する分散よりも非常に大きい。 観測したい真の情報の次元は実際に観測された情報の次元よりも小さい。 主成分分析がうまくいくかどうかは仮定1が満たされているかどうかに依存しています。 主成分分析は確率変数の分散が最大となるような方向を取り出す操作なので、ノイズが大きいとまったくデタラメな方向を抽出してしまい役に立ちません。 また主成分分析はよく次元圧縮の手法のひとつとして紹介されますが、主成分分析の本質は「確率変数の無相関化」です。 次元圧縮が可能かどうかは仮定2が満たされているかどうかに依存します。 注意:「確率変数が無相関であること」と「確率変数が独立であること」は必ずしも一致しません()。 データセット さて、この時点でもデータ分析の言葉に慣れていない人にとっては難しい言葉がいくつかあるように見えるかもしれませんが、具体例を挙げながら解説していきますのでご安心ください。 たとえば学校で生徒の学業の優秀さを測るために数学と英語のテストを実施したとします(本当はもっとたくさんの科目を実施するでしょうが、可視化しやすいように2次元に絞ります)。 学校は生徒を成績によって序列づけることをしますので、このテストの結果に基づいて生徒に順位を割り当てようとしています。 優劣の比較をするためには1次元に落とし込む必要があるので、これは「生徒の学業の優秀さは本当は1次元で表現できるはずだ」という仮定に基づく「2次元から1次元への次元圧縮」の問題です。 次元圧縮(あるいは次元削減)とは、データの持つ本質的な情報を保ったまま多次元のデータからより小さい次元のデータへ変換することを言います。 つまり数学と英語の結果に意図的に正の相関を持たせた「数学の出来がいい子は英語の出来もいい」という倫理的な物議を醸しかねないデータを説明のために仕方なく生成したわけです。 つまり数学の教師はけっこう厳しい先生なので下は0点付近まで取りえるようなテストになっていますが、英語の教師は慈悲深い先生なので50点以下はほぼいないだろうというテストになっています。 生徒のテストの結果は次のコードで生成しました。 array [[ 1 , 0. subplot 1 , 2 , 1 plt. legend plt. xlim [ 0 , 100 ] 散布図をプロット plt. subplot 1 , 2 , 2 plt. xlim [ 0 , 100 ] plt. ylim [ 0 , 100 ] plt. xlabel 'Math' plt. ylabel 'English' plt. show さて、ここで普通に学校で使われている「教科ごとの単純な合計点で生徒の優秀さを評価する」ことのどこに問題があるかを見ておきましょう。 次元圧縮にもいろいろなやり方があるわけで、単純な合計点ももちろんひとつの指標となりえます。 正射影ベクトル 主成分分析と対比しながら単純な合計点の意味を理解するには、正射影(直交射影、Orthogonal Projection)の概念と結びつけて考えるとよいでしょう。 正射影とは、直感的には「ある与えられた点についてあるベクトルに沿った情報を取り出す操作」です。 この説明だけで正射影が「ある与えられた点についてあるベクトルに沿った情報を取り出す操作」であることをイメージするには十分かと思いますが、また少し見方を変えた説明もしておきましょう。 内積は和に対して分配できるので、次のように計算できます。 「ある与えられた点についてあるベクトルに沿った情報を取り出す操作」のイメージがつかめたでしょうか。 フーリエ展開は現代の信号処理やカーネル法の理論的な裏付けとなる関数解析という分野の重要な式のひとつであり「ベクトルに沿って情報を取り出す」という意味合いに変わりはありません。 この指標は素朴で分かりやすいものですが、「数学の1点と英語の1点は同じ価値がある」という強い仮定を置いています。 本当にそれでいいんでしょうか。 私たちは• 数学の1点は英語の何点分に相当するか ということを考えなくてよいのでしょうか? 単純な合計点で損をする人たち では単純な合計点と主成分分析による評価で結果が食い違う例を確認しておきましょう。 得してるわけです。 実際に点線よりも上に行くほど得をして、点線よりも下に行くほど損をするため、うまく選ぶと下の図のように順位が入れ替わります。 [ここに図] 要するに「テストの問題の難易度が分野で異なる」という理由だけで不当な評価を受ける人がいるというわけです。 この節をこんな締め方をしていいものかわかりませんが、学業において重要なのは究極的には自分でどれだけ各分野を理解できたかです。 自分のテストの点数を見て自分がどれだけその分野を理解できているかの指標にすることはある程度意味があるかもしれません。 しかし総合順位はテストの製作者の影響で揺らいでしまうものであり、必ずしもあなたの努力や能力が公平に反映されるものではないのです。 総合順位の上がり下がりに一喜一憂することなく、自分のペースで楽しく勉強ができるといいですね。 主成分分析の解き方 ここまで来ればあと理解すべきは数式だけです。 主成分分析は「変換後の各確率変数の分散が最大になるような直交射影を求めよ」という問題です。 ちょっと計算が長いですが頑張ってください。 この等式制約付き最適化問題はラグランジュの未定乗数法によって解くことができます。 今回の記事はラグランジュの未定乗数法の解説記事ではありませんので詳しくは解説しませんが、ラグランジュの未定乗数法はよく登場する数理最適化の基本的な解法のひとつなので勉強しておくとよいでしょう。 使い方はこれから説明いたします。 まず今回解くべき最適化問題を書き下します。 どちらでも同じ意味です)。 ここから最適解の候補を得るための「所定の操作」をしていきます。 ここで上式の第一式、第二式は行列形式で次のように書くことができます。 これが求まった「解の候補」であり、この2つのうち大きいほうの固有値に対応するのが第一主成分、小さいほうの固有値に対応するのが第二主成分です。 第一主成分は最大化問題の大域最適解、第二主成分は最大化問題の局所最適解(極値)です。 主成分分析を使ってみる そろそろ上にスクロールして問題を再確認するのが面倒でしょうから、同じ図をもう一度貼り付けておきます。 [ 279. 3406784 23. 11929157] [[ 0. 95882613 -0. 28399376] [ 0. 28399376 0. 96, 0. あっさりできましたね。 実際、主成分分析の計算自体は行列計算のライブラリさえあれば非常に簡単です。 sklearnとか使えばもっと簡単ですが、それはまたの機会にしましょう。 せっかくなので主成分分析による次元圧縮の例を実装して今回の話を締めくくりましょう。 【注:追記予定】 終わりに 【注:追記予定】.

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正射影ベクトルとは 正射影ベクトルは、その名の通り「あるベクトルに光を真上から射(さ)した時の影となるベクトル」のことです。 <正射影ベクトルのイメージ図> 青色のベクトルが、「aベクトルに対するbベクトルの正射影ベクトル」と言われます。 この項ではその公式の導出法を学びます。 <正射影ベクトルの公式導出> まず、ベクトルAとBの始点を揃えます。 そしてベクトルBの先の影の部分(垂直に下ろしたところ)を点Hとします。 わざわざ意味もなく求めているわけではなく、様々なベクトルの問題がスマートに解けるようになります。 さらに、【ベクトルの分野と一見何の関係も無さそうな分野でも】正射影ベクトルは威力を発揮します。 ここでは、そのうちの正射影ベクトルが役立つ代表的な問題を紹介し、解答では図形と方程式など他分野の考えを使って確認していきます。 正射影ベクトルを利用する問題例 問題:『<問題図1>のように、xy座標平面上にy=-xで表される直線と点A(1,3)がある。 Aから直線に垂線を下ろしたとき、その足の点の座標を求めよ。 』 <問題図1> 解答の手順 この手の問題では、点Hの座標を求める=ベクトルOHとベクトルOAを考えます。 つまり、正射影ベクトルの出番です! 正射影ベクトルの式を思い出しながら、解答を作っていきます。 座標上の距離で確認してみる 本当に点Hの座標が -1,1 なのか、三平方の定理で確かめてみましょう。 まとめとベクトルの関連記事紹介 ・正射影ベクトルの公式は『覚えず』に、面倒でも一回一回導きましょう。 (その過程で、自然に覚えてしまいます) ・今回は応用問題1題を紹介しましたが、正射影が使える問題や分野はかなり多いので問題集や過去問を解く際に『ベクトル』を使えないかを常に頭に置いておきましょう。 <<「」>> ・空間図形でも(正射影を含む)ベクトルは大活躍します。 空間ベクトルの応用シリーズ 第一回:「」 第二回:「」 第三回:「」 第四回:「」.

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